Советский математик, академик (с 1958, член-корреспондент АН СССР с 1939). Родился в Москве. В 14-летнем возрасте потерял зрение в результате несчастного случая. Окончил Московский университет (1929). Ученик П. С. Александрова. С 1930 работает в Московском университете (с 1935— профессор), одновременно с 1939— в Математическом институте АН СССР.

Основные работы относятся к теории дифференциальных уравнений, топологии, теории колебаний, теории управления, вариационному исчислению, алгебре. Развивая закон двойственности Александера, доказал (1932) этот закон, связавший группы Бетти произвольного ограниченного замкну-того множества в евклидовом пространстве с группами Бетти дополнения этого пространства. Решил задачу о вычислении групп Бетти. В области топологии и топологической алгебры построил теорию характеров коммутативных топологических групп, теоремы о структуре достаточно широких типов топологических групп и создал новое направление в топологической алгебре. Доказал теорему о том, что единственными локально бикомпактными связанными телами являются тела действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов. Получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина), создал математическую теорию оптимальных процессов, в основе которой лежит принцип максимумов Понтрягина. Ему принадлежат также существенные результаты в области асимптотики релаксационных колебаний, по вариационному исчислению, в теории размерности, в теории обыкновенных дифференциальных уравнений,теории регулирования, по функциональному анализу.

Почетный член Международной академии астронавтики (с 1966), вице-президент Международного математического союза (1970— 1974), почетный член АН ВНР (с 1972).Герой Социалистического Труда (1969). Ленинская премия (1962), Государственная премия СССР (1941), Международная премия им. Н. И. Лобачевского (1966).