Родился в Петербурге в семье известного юриста. В 15 лет закончил среднюю школу, в которой был первым учеником.
В школе любимым предметом будущего ученого стала математика. Мечтал об университете, но эта мечта не могла сразу осуществиться, так как в университет принимали только с 16 лет. Потом становится студентом Ленинградского университета. Ученик В. И. Смирнова и Н. М. Гюнтера.
В 21 год оканчивает университет, а в 22 — уже профессор. В 1933 г. избран членом-корреспондентом АН СССР. Доктор физико-математических наук (1934 г.), академик АН СССР (1938 г.).
После окончания университета работает последовательно в Сейсмологическом институте АН СССР, Московском университете и одновременно в Математическом институте АН СССР, а затем в Институте атомной энергии. С 1957 г.—в Институте математики СО АН СССР (директор) и с 1961 г. также в Новосибирском университете.
Основные труды относятся к динамике твердого тела и уравнениям математической физики. В динамике твердого тела впервые построил общую теорию плоских волн в упругом полупространстве со свободной от напряжений границей и определил понятие поверхностной волны. В математической физике разработал новый метод интегрирования линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Известен также работами по дифференциальным и интегральным уравнениям, функциональному анализу, вариационному исчислению, приближенным и численным методам, программированию и другим разделам математики. Одна из формул в теории дифференциальных уравнений с частными производными называется формулой Коши — Соболева.
Установил и исследовал ряд новых понятий: «обобщенная производная», «обобщенное решение уравнений с частными производными», «обобщенный дифференциальный оператор» и др. Дальнейшее развитие этих идей привело к созданию теории так называемых обобщенных функций. Исследовал ряд функциональных пространств. Много работал над развитием вычислительной математики и внедрением электронно-вычислительной техники.
Прекрасный педагог. Ему принадлежат крылатые слова:
— Ученик не просто сосуд, который надо наполнить, а факел, который предстоит зажечь.
Один из создателей советской школы дифференциальных уравнений в частных производных.Автор более 150 работ, в том числе широко известных книг и монографий. Имеет много учеников и последователей. Член Парижской АН, Национальной академии деи Линчей в Риме, Эдинбургского королевского общества, член-корреспондент АН ГДР, почетный доктор университета им. Гумбольдта в Берлине, Карлова университета в Праге и др.
Член КПСС с 1940 г. Вице-президент СО АН СССР, главный редактор «Сибирского математического журнала», член редколлегии журнала «Кибернетика», комиссии по математическому образованию от СССР в Международном математическом Союзе.
Герой Социалистического Труда, трижды лауреат Государственной премии СССР, награжден семью орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, двумя другими орденами и медалями.
