Родился в Петербурге в семье протоиерея, законоучителя Петербургского лицея. Окончил Петербургский университет (1910 г.).
Некоторое время работал в гимназии, профессором Ленинградского университета, в 1929—1935 гг.— одновременно в Сейсмологическом и Математическом институтах АН СССР. В 1932 г. избран членом-корреспондентом АН СССР. Доктор физико-математических наук в 1936 г.), академик АН СССР (1943 г.). Ученик В. А. Стеклова. Человек огромной эрудиции и разносторонних знаний.
Основные труды относятся к теории функций комплексного переменного, теории упругости и функциональному анализу. В результате исследований, проведенных совместно с С. Л. Соболевым, создал новый метод решения некоторых задач, касающихся теории распространения волн в упругих средах с плоскими границами. Ввел понятие сопряженных функций для евклидова пространства с положительной метрикой. Известен также работами по дифференциальным уравнениям в частных производных, вариационному исчислению, прикладной математике и истории математики. Положил начало новому направлению в теоретических исследованиях по сейсмологии.
Большую популярность приобрел его пятитомный «Курс высшей математики» (единственная в своем роде в мировой литературе энциклопедия математических знаний), переведенный на многие иностранные языки и выдержавший около 20 изданий. Проявил много стараний для издания работ классиков математики, осуществляемого АН СССР. Важное значение имеют исследования ученого в области отечественной математики (научное творчество П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, В. А. Стеклова и др.).
Возглавлял комиссию по истории физико-математических наук. Принимал существенное участие в посмертном издании трудов И. А. Лаппо-Данилевского, М. В. Остроградского, М. А. Ляпунова, Н. М. Гюнтера, А. Н. Крылова и др. По праву считается воспитателем советских математиков. В течение нескольких десятков лет руководил созданной им Ленинградской математической школой. Его учениками были И. А. Лаппо-Данилевский, Н. Е. Кочин, С. Л.Соболев и др. Много лет возглавлял Институт математики и механики Ленинградского университета, в период Великой Отечественной войны руководил важнейшими работами по оборонной тематике.
Был президентом (а затем почетным президентом) Ленинградского математического общества, членом редколлегий ряда специальных журналов и изданий, председателем Эйлеровской комиссии (создана в 1957 г.), членом Сербской АН. Герой Социалистического Труда, лауреат Государственной премии СССР. Награжден четырьмя орденами Ленина, другими орденами и медалями.