Родился в Петербурге в семье протоиерея, законо­учителя Петербургского лицея. Окончил Петербургский университет (1910 г.).

Некоторое время работал в гимназии, профессором Ленинградского университета, в 1929—1935 гг.— одно­временно в Сейсмологическом и Математическом инсти­тутах АН СССР. В 1932 г. избран членом-корреспонден­том АН СССР. Доктор физико-математических наук в 1936 г.), академик АН СССР (1943 г.). Ученик В. А. Стеклова. Человек огромной эрудиции и разно­сторонних знаний.

Основные труды относятся к теории функций комп­лексного переменного, теории упругости и функциональ­ному анализу. В результате исследований, проведенных совместно с С. Л. Соболевым, создал новый метод ре­шения некоторых задач, касающихся теории распростра­нения волн в упругих средах с плоскими границами. Ввел понятие сопряженных функций для евклидова про­странства с положительной метрикой. Известен также работами по дифференциальным уравнениям в частных производных, вариационному исчислению, прикладной математике и истории математики. Положил начало новому направлению в теоретических исследованиях по сейсмологии.

Большую популярность приобрел его пятитомный «Курс высшей математики» (единственная в своем роде в мировой литературе энциклопедия математических знаний), переведенный на многие иностранные языки и выдержавший около 20 изданий. Проявил много ста­раний для издания работ классиков математики, осу­ществляемого АН СССР. Важное значение имеют исследования ученого в области отечественной матема­тики (научное творчество П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, В. А. Стеклова и др.).

Возглавлял комиссию по истории физико-математических наук. Принимал существенное участие в посмертном издании трудов И. А. Лаппо-Данилевского, М. В. Остроградского, М. А. Ляпунова, Н. М. Гюнтера, А. Н. Крылова и др. По праву считается воспитателем советских математиков. В течение нескольких десятков лет руководил созданной им Ленинградской математи­ческой школой. Его учениками были И. А. Лаппо-Данилевский, Н. Е. Кочин, С. Л.Соболев и др. Много лет возглавлял Институт математики и механики Ленин­градского университета, в период Великой Отечествен­ной войны руководил важнейшими работами по оборон­ной тематике.

Был президентом (а затем почетным президентом) Ленинградского математического общества, членом ред­коллегий ряда специальных журналов и изданий, пред­седателем Эйлеровской комиссии (создана в 1957 г.), членом Сербской АН. Герой Социалистического Труда, лауреат Государственной премии СССР. Награжден че­тырьмя орденами Ленина, другими орденами и меда­лями.