Макс Борн народився 11 грудня 1882 року в Бреслау (нині Вроцлав, Польща) і був старшим з двох дітей Густава Борна, професора анатомії університету Бреслау, і Маргарет (у дівоцтві Кауфман) Борн, талановитої піаністки, що вийшла з відомої сім'ї сілезьких промисловців. Максу було чотири роки, коли померла його мати, а через чотири роки його батько одружився на Берті Ліпштейн, яка народила йому сина. Оскільки його сім'я була пов'язана з провідними інтелектуальними та артистичними колами Бреслау, Макс ріс в атмосфері, сприятливому для її розвитку. Початкову освіту він здобув у гімназії кайзера Вільгельма в Бреслау.
Хоча Макс збирався стати інженером, його батько порадив йому прослухати різноманітні курси в університеті Бреслау, куди він і поступив у 1901 році, після смерті свого батька. В університеті Макс вивчав багато предметів, проте незабаром захопився математикою і фізикою. Два літніх семестру він провів в університетах Гейдельберга та Цюриха. У 1904 році він вступив до Геттінгенського університету, де займався під керівництвом відомих математиків - Давида Гільберта і Фелікса Клейна, а також Германа Мінковського. Гільберт, оцінивши інтелектуальні здібності Борна, зробив його своїм асистентом в 1905 році. Макс, крім того, він вивчав у Геттінгені астрономію. До часу отримання ступеня доктора в 1907 році за дисертацію з теорії стійкості пружних тіл його інтереси перемістилися в область електродинаміки і теорії відносності.
Після закінчення університету Борн був призваний на рік на військову службу в кавалерійський полк у Берліні, але незабаром, через кілька місяців, був демобілізований через астму. Цей короткий досвід військової служби зміцнив в ньому неприязнь до війни і мілітаризму, яка збереглася у нього на все життя.
Наступні шість місяців Борн займався в Кембріджському університеті, де відвідував лекції Дж.Дж. Томсона.Повернувшись в Бреслау, він почав проводити експериментальні дослідження, а потім приступив до теоретичної роботи з теорії відносності, розвиненою Альбертом Ейнштейном в 1905 році. Об'єднавши ідеї Ейнштейна з математичним підходом Маньківського, Борн відкрив новий спрощений метод обчислення маси електрона. Оцінивши цю роботу, Мінковський запросив Борна повернутися в Геттінген і стати його асистентом.Однак Борн пропрацював з ним всього лише кілька тижнів внаслідок раптової кончини Маньківського, що послідувала на початку 1909 року.
Закінчивши в тому ж році теоретичне вивчення теорії відносності, Борн став лектором в Геттінгені. Тут він досліджував властивості кристалів в залежності від розташування атомів. Разом з Теодором фон Карманом Борн розробив точну теорію залежності теплоємності від температури - теорію, яка до цих пір лежить в основі вивчення кристалів. Кристалічна структура залишалася головною областю досліджень Борна аж до середини двадцятих років.
У 1913 році Борн одружився на Хедвігі Еренберг, дочки Геттінгенського професора права. У них народилися син; який згодом став главою фармакологічного факультету в Кембриджі, і дві дочки.
У 1915 році Борн став асистент-професором теоретичної фізики у Макса Планка в Берлінському університеті. Під час Першої світової війни, незважаючи на свою відразу до війни, Борн проводив військові дослідження з звукометріі і давав оцінку нових винаходів в області артилерії. Саме під час війни почалася його дружба з Ейнштейном. Крім фізики, цих двох людей об'єднувала любов до музики, і вони із задоволенням виконували разом сонати - Ейнштейн на скрипці, а Борн на фортепіано.
Після війни Борн продовжував дослідження з теорії кристалів, працюючи разом з Фріцем Габером над встановленням зв'язку між фізичними властивостями кристалів і хімічної енергією складових їх компонентів. В результаті зусиль двох вчених була створена аналітична техніка, відома під назвою циклу Борна-Габера.
Коли Макс фон Лауе висловив бажання працювати з Планком, Борн погодився помінятися з ним тимчасово постами і відправився в 1919 році до Франкфуртського університету, щоб зайняти місце професора фізики і директора Інституту теоретичної фізики. Повернувшись через два роки в Геттінген, Борн став директором університетського Фізичного інституту. Він поставив умову, щоб його старий приятель і колега Джеймс Франк був призначений у цей же інститут керувати експериментальною роботою. Під керівництвом Борна Фізичний інститут став провідним центром теоретичної фізики і математики.
Спочатку Борн продовжив свої дослідження з теорії кристалів у Геттінгені, але незабаром він став розробляти математичні основи квантової теорії. Хоча його робота з кристалами була вкрай важливою і допомогла закласти основи сучасної фізики твердого тіла, саме внесок Борна в квантову теорію приніс йому найбільший успіх.
До двадцяти років більшість фізиків було переконане, що будь-яка енергія квантів, однак початкова квантова теорія залишала невирішеними безліч проблем. Борн хотів створити загальну теорію, яка охоплювала б всі квантові ефекти.
У 1925 році асистент Борна Вернер Гейзенберг зробив найважливіший крок у рішенні цієї задачі, припустивши, що в основі всіх атомних явищ лежать певні математичні принципи. Хоча сам Гейзенберг не зміг розібратися в математичних підставах знайдених ним співвідношень, Борн зрозумів, що Гейзенберг користувався матричними операціями (математичні перетворення, що здійснюються за певними правилами над таблицями чисел або змінних). З одним із студентів, Паскуалем Йорданом, Борн формалізував підхід Гейзенберга і опублікував результати в цьому ж році у статті, під заголовком «Про квантову механіку». Термін квантова механіка, введений Борном, повинен був позначати нову високоматематизовану квантову теорію, розвинену в кінці двадцятих років.
Взимку 1925-1926 років Борн був запрошеним лектором в Массачусетський технологічний інституті. У 1926 році Шредінгер розвинув хвильову механіку, яка містить формулювання, альтернативні квантовій механіці, яка в свою чергу, як він показав, була еквівалентна формулюванню матричній механіці. Повертаючись до деяких методів класичної фізики, хвильова механіка трактує субатомні частинки як хвилі, описувані хвильовою функцією. Застосовуючи принципи хвильової механіки і матричної механіки в теорії атомного розсіювання, Борн зробив висновок, що квадрат хвильової функції, обчислений в деякій точці простору, висловлює ймовірність того, що відповідна частка перебуває саме в цьому місці.
Статистична інтерпретація квантової механіки розвивалася далі Борном, Гейзенбергом і Бором; оскільки Бор, який жив у Копенгагені, виконав велику роботу по цій інтерпретації, вона стала відома як Копенгагенська інтерпретація. Хоча ряд засновників квантової теорії, включаючи Планка, Ейнштейна і Шредінгера, не погоджувалися з таким підходом, оскільки він відкидає причинність, більшість фізиків прийняло копенгагенську інтерпретацію як найбільш плідну. Борн і Ейнштейн вели тривалу полеміку в листах з цього питання, хоча фундаментальна наукова розбіжність ніколи не затьмарювала їх дружби. Популярність Борна як реформатора квантової механіки, що лягла в основу нової картини будови атома і подальшого розвитку фізики і хімії, залучила багатьох обдарованих молодих фізиків до нього в Геттінген.
Після відвідин фізичної конференції в Ленінграді в 1928 року у Борна погіршився стан здоров'я, позначилися фізичні навантаження, і він змушений був провести рік у санаторії. Тут він не втрачав часу дарма, написавши підручник з оптики, пізніше заборонений нацистами, але широко використовувався в англомовних країнах. Це був один з кількох підручників і популярних праць, написаних Борном з різних загальних фізичних питань; він опублікував велику кількість і спеціальних робіт.
Борн був надзвичайно привабливою людиною. Одночасно він бував досить рішучий і безкомпромісний в тих випадках, коли справа стосувалася несправедливих вчинків.
У 1932 році Борн став деканом наукового факультету в Геттінгені. Після приходу до влади Гітлера в перший же місяць геттингенский науковий центр фактично перестав існувати. Багато провідних професорів, в тому числі і Борн, були відсторонені від посади. На чолі інститутів виявилися фашистські гауляйтери, далекі від інтересів науки. Багато вчених, які прагнули раніше «не помічати» брудної політики, щоб зберегти лише академічну свободу, опинилися в різних таборах.
Борн залишає Німеччину і перебирається до Великобританії.Тут він протягом наступних трьох років був лектором в Кембриджі. Провівши шість місяців в Індійському фізичному інституті в Бангалорі, де він працював з індійським фізиком Венкат Раманом, Борн зайняв пост професора натурфілософії в Единбурзькому університеті в 1936 році. В університеті він викладав і проводив дослідження аж до свого відходу у відставку в 1953 році, коли він став почесним професором у відставці в Единбурзі.
У Борна було багато учнів. У нього працювали фізики, які стали з часом великими теоретиками. Досить перерахувати їх імена: Гейзенберг, Дірак і Паулі, Фермі, Блеккет, Вінер, Гейтлер, Вейскопф, Оппенгеймер, Теллер. У Борна працювали великі радянські вчені: Фок, Френкель, Богуславський та Румер. У Борна як у вчителя був дуже сильно розвинений критичний талант, але він був настільки тісно сполучений з доброзичливістю, що всі його учні відчували себе як би членами однієї великої родини, головною метою якої було пізнання. Він умів створювати таку атмосферу доброзичливості, в якій кожен, не соромлячись, міг вибирати свій шлях у вирішенні проблем якими він займався.
Може бути, завдяки особистим якостям Борна саме в його школі об'єдналися люди, які стоять на крайніх світоглядних позиціях. Досить згадати, що Паскуаль Йордан, з яким Борн зробив чимало чудових фізичних робіт, за своїми філософськими поглядами характеризується звичайно як суб'єктивний ідеаліст, тоді як сам Макс Борн був матеріалістом, а його другий учень Дірак - атеїстом, який заперечував будь-яку релігію.
Така відмінність у світоглядах не заважало їх науковому співробітництву до тих пір, поки від кожного не знадобилося рішучого визначення своїх політичних поглядів з приходом до влади фашистів. Деякі студенти і колеги Борна вже встигли отримати Нобелівську премію за роботи з квантової теорії, але внесок самого Борна не був настільки високо оцінений до 1954 року, коли він був нагороджений Нобелівською премією з фізики «за фундаментальні дослідження із квантової механіки, особливо за його статистичну інтерпретацію хвильової функції ». Він розділив премію з Вальтером Боте, який був нагороджений за експериментальну роботу з елементарних частинок. 
Хоча Борна найбільше пам'ятають у зв'язку з його роботами в галузі квантової механіки, його дослідження та праці відіграли важливу роль у всіх тих областях, яких вони стосувалися. «Мені ніколи не подобалося бути вузьким спеціалістом, - написав він у своїй автобіографії.
Незабаром після своєї відставки Борн з дружиною поселився в Бад-Пирмонте, невеликому містечку поблизу Геттінгена, їх пенсійні права і конфіскована власність були відновлені післявоєнним урядом. Тут Борн продовжував свою наукову роботу, готував нові видання своїх публікацій, писав і виступав з лекціями про соціальну відповідальність вчених, особливо у зв'язку із застосуванням ядерної зброї. У 1955 році він був одним з шістнадцяти нобелівських лауреатів, які зібралися на острові Майнау, розташованому на озері Констанс в Швейцарії, щоб виробити заяву, що засуджує подальшу розробку і використання ядерної зброї.Зрештою, цю декларацію підписав п'ятьдесят-один нобелівський лауреат. Два роки по тому Борн був одним з вісімнадцяти геттінгенцев (всі з групи провідних західнонімецьких фізиків), які заприсяглися не приймати участі в розробці і виробництві такої зброї і які брали участь у кампанії проти ядерного озброєння Західній Німеччині.
Борн помер у Геттінгенському госпіталі 5 січня 1970