Советский математик, механик и кораблестроитель, академик (с 1916, член-корреспондент Российской АН с 19] 4). Родился в с. Висяга (ныне Ульяновской обл.). Окончил Морскую академию (1890). С 1890 работал там же, с 1892 читал лекции по теории корабля, профессор Петербургского политехнического института и института инженеров путей сообщения, с 1900 — заведующий Опытовым бассейном Морского ведомства, в 1908—1910—главный инспектор кораблестроения и председатель Морского технического комитета, с 1917 — директор Главной физической лаборатории АН, в 1919—1921—начальник Морской академии. В 1921—1927 находился в заграничной командировке, с 1927 — профессор Морской академии, в 1927—1934 — директор Физико-математического института АН СССР.

Основные исследования относятся к теории корабля, строительной механике, теории гироскопов, теории дифференциальных уравнений и истории науки. Крылов приобрел мировую известность своими трудами по кораблестроению, механике корабля и теории вибрации судов. Занимался девиацией компаса. Провел ряд экспериментальных работ по исследованию непотопляемости кораблей, составил проект бронирования линейных кораблей, исследовал устойчивость корабля и влияние качки на меткость стрельбы. Принимал участие в проектировании и постройке линкоров, ввел ряд технических усовершенствований. Создал теорию килевой качки, установил влияние качки на возникновение добавочных усилий в различных частях корпуса корабля. Его исследования по теории колебаний корабля на волнении (1896—1898) служат основой при изучении прочности и мореходности корабля. Развил теорию непотопляемости корабля.

В области артиллерии изучил продольные и поперечные колебания стволов орудий во время выстрела и вращательное движение снаряда. В строительной механике обосновал и развил оригинальный метод расчета балок, лежащих на упругом основании. Получил существенные результаты в теории гироскопов. Принимал участие в разрешении вопросов, связанных с производством гироскопов и их практическим применением.                                                                                                               Математические исследования посвящены математической физике и теории приближенных вычислений. Издал (1917) монографию «Приближенное численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений». Предложил (1931) лучший метод решения векового уравнения. Выполнил важные исследования в области истории науки и техники. Перевел на русский язык и издал «Математические начала натуральной философии» И. Ньютона (1915—1916), «Теорию движения Луны...» Л. Эйлера (1934). Построил (1904) первую в России машину для интегрирования дифференциальных уравнений и ряд артиллерийских -и корабельных приборов.

Государственная премия СССР (1941).Герой Социалистического Труда (1943).