Родил­ся в Казани в семье научного работника (позже про­фессора механики Казанского университета, безусловно, оказавшего влияние на выбор профессии своего сына). В 1922 г. оканчивает Московский университет и в 1926 — аспирантуру там же. Ученик Н. Н. Лузина. В 1929 г. избран профессором этого университета, а че­рез несколько лет присвоены одна за другой ученые сте­пени доктора технических и доктора физико-математи­ческих наук. В 1939 г. избран академиком АН УССР и переехал в Киев, где руководил Институтом математики и меха­ники АН УССР и работал в Киевском университете. Академик АН СССР (1946 г.). В 1949—1952 гг.—ди­ректор Института механики и вычислительной техники АН СССР. В 1957—1975 гг.— вице-президент АН СССР и председатель СО АН СССР, инициатором и организа­тором которого был, одновременно работал в Новоси­бирском университете, с 1975 г.— в Московском физико-тёхническом институте. Основные труды относятся к теории множеств, теории функций, дифференциальным уравнениям, вариационному исчислению и математиче­ским методам в механике. В математике получил фун­даментальные результаты по теории множеств и общей теории функций, теории приближения функций комплек­сного переменного, теории конформных и квазиконформ­ных отображений и теории дифференциальных уравне­ний; создал ряд новых направлений в этих областях, г .. Большое значение имеет работа, выполненная им совместно с М. В. Келдышем, по аппроксимации произвольных непрерывных функций комплексного переменного рядами полиномов, а также исследование в области вариационных принципов конформных отображений и, особенно, в области созданной им теории квазиконформных отображений.

В 1943 г. ввел общее понятие квазиконформного ото­бражения, положил начало теории нелинейных классов квазиконформных отображений, поставил ряд новых проблем пространственных квазиконформных отображе­ний. Его результаты, полученные здесь, послужили ос­новой геометрического метода решения широкого круга задач математики и математической физики.

Велики заслуги ученого в деле развития современ­ной машинной математики. Ему принадлежат важные работы по приближенным и численным методам и ма­тематическому программированию. Создал школы в ма­тематике и механике, которые успешно развивают его идеи. Воспитал целую плеяду математиков и механи­ков, имена которых широко известны — это академики М. В. Келдыш, Л. И. Седов, А. И. Ишлинский, академик АПН СССР А. И. Маркушевнч, член-корреспондент АН СССР А. В. Бизадзе и др.

Много занимался практическими вопросами механи­ки, применяя при этом найденные им математические методы. С большой радостью принял приглашение С. А. Чаплыгина работать в ЦАГИ. Это было начало 30-х годов, когда создавалась отечественная авиация и зарождалась ракетная техника. Перед наукой были по­ставлены новые проблемы, которые требовали матема­тического решения. Получил крупные результаты в раз­витии теории крыла (совместно с М. В. Келдышем), теории длинных волн, струй и др. Во время Великой Отечественной войны решал проблемы, связанные с обо­роной страны.

Для творческого почерка ученого характерна орга­ническая связь математических теорий с нуждами прак­тики, умение сочетать теоретические и прикладные ис­следования. Широко известен как педагог. Под его руководством проведена первая в Сибири и на Дальнем Востоке физико-математическая олимпиада школьников. Благода­ря его стараниям для самых способных в Новосибирске открыта физико-математическая школа, которая успеш­но функционирует. Одна из любимых фраз М. А. Лав­рентьева — «Нет ученых без учеников». Ратует за глу­бокое изучение математики в средней школе и призыва­ет учащихся дерзать в самостоятельном творчестве. Автор ряда распространенных учебников и учебных по­собий для вузов.

Член Парижской АН, АН ЧССР, АН НРБ и других академий, научных учреждений и обществ (в 1966— 1970 гг. вице-президент Международного математиче­ского союза). Член КПСС с 1952 г. На XXII и XXIV съездах КПСС избирался кандидатом в члены ЦК КПСС. Депутат Верховного Совета СССР 5—9-го созывов. Лауреат премии Наркомпроса. Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и двух Государственных пре­мий СССР, а также премии им. С. А. Лебедева. На­гражден шестью орденами Ленина, орденом Октябрь­ской Революции, пятью другими орденами, медалями, а также иностранными орденами.