Советский математик и механик, академик (с 1939, член-корреспондент АН СССР с 1933). Родился в Петербурге. Окончил Ленинградский университет (1929). В 1929—1932 работал в Сейсмологическом институте АН СССР, в 1932—1943 — в Математическом институте АН СССР, в 1943—1957 — в институте атомной энергии, одновременно в 1935—1957 — профессор Московского университета. С 1957 — директор института математики СО АН СССР, в 1960—1978 —профессор Новосибирского университета.
Исследования относятся к теории дифференциальных уравнений с частными производными, вариационному исчислению, теории интегральных уравнений, функциональному анализу, приближенным и численным методам, математическому анализу. Предложил новый метод решения гиперболических уравнений с частными производными. Совместно с В. И. Смирновым разработал метод решения ряда задач теории распространения волн в упругих средах с плоскими границами. Ввел систематическое применение функционального анализа в теории уравнений с частными производными. Ввел впервые строгое определение обобщенных функций и функциональных операторов над ними. Разработал (1935—1936) теорию ряда задач теории линейных уравнений в частных производных в терминах обобщенных функций. Предложил класс функциональных пространств (пространства Соболева) и исследовал соотношения вложения для этих пространств. Положил начало исследованию в терминах этих пространств различных краевых задач для уравнений в частных производных математической физики, впервые установив точные требования на краевые и начальные данные в нелинейном случае (1938—1950). Получил (1939— 1940) первые теоремы вложения для сеточных функций. Установил (1962) порядок точности симметричных кубатурных формул на поверхности трехмерной сферы. Построил теорию кубатурных формул для функций, обладающих частными производными, суммируемыми с квадратом. В вычислительную математику ввел понятие замыкания вычислительных алгоритмов и дал общую теорию их оптимизации.
Член многих академий наук и научных обществ. Герой Социалистического Труда (1958).Государственные премии СССР (1941, 1951, 1953).
