Советский математик, академик (с 1946, член-корреспондент АН СССР с 1943). Родился в Севске (ныне Брянской обл.). Окончил Московский университет (1927). С 1927 работал там же (с 1933 — профессор, с 1951—ректор). Член Президиума Верховного Совета СССР (с 1966).

Основные исследования относятся к теории дифференциальных уравнений с частными производными, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математической физике, алгебраической геометрии, теории вероятностей. Заложил основы общей теории систем дифференциальных уравнений с частными производными. Изучил (1936) задачи с начальными условиями для параболических и гиперболических систем уравнений, исследовал зависимость решений от начальных условий. Выделил и изучил классы эллиптических, гиперболических и параболических систем уравнений с частными производными, установил (1937) аналитичность решений эллиптических систем. Решил (1935) первую краевую задачу для уравнения теплопроводности при наиболее общих предположениях относительно границы области. Нашел (1941) решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом конечных разностей в п-мерной области. Изучил (1934) поведение интегральных кривых системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. В алгебраической геометрии создал метод для решения задачи о расположении овалов алгебраической кривой любого порядка, что дало возможность установить топологические свойства алгебраических поверхностей и алгебраических многообразий любого числа измерений (1949). Работы Петровского по теории вероятностей (1934) оказали существенное влияние на развитие теории случайных процессов. Написал учебники по теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Член многих академий наук и университетов. Герой Социалистического Труда (1969). Государственные премии СССР (1946, 1952).