Советский математик. Родился в Ярцеве (ныне Смоленской обл.). Окончил Смоленский университет (1928). Ученик П. С. Александрова. В 1930—1971 работал в Московском университете (с 1937 — профессор).

Основные работы посвящены алгебре. Положил начало (1937) изучению абелевых групп без кручения, имеющих конечный ранг. Принимал деятельное участие в развитии теории нильпотентных групп и обобщении разрешимых конечных групп, предложенных и исследованных С. Н. Черниковым. С 1942 в круг его интересов входят вопросы общей теории ассоциативных колец и алгебр. Его монография «Теория групп» (1944) способствовала повышению интереса к этой теории и развитию исследований в области бесконечных групп. С 1950 Курош и его ученики разрабатывали теорию радикалов и колец. Ряд работ посвятил теории топологических групп, теории мультипликаторных групп, теории категорий и другим направлениям алгебры.