Советский ученый в области математики и механики, академик (с 1929, член-корреспондент АН СССР с 1928), академик АН УССР (с 1922). Родился в Петербурге. Окончил Петербургский горный институт (1902). В 1910—1917 работал в Петербургском (Петроградском) горном институте (с 1912 — профессор), в 1917—1922—в Крымском университете, в 1922—1955 —в АН УССР, в 1922—1941 руководил Кафедрой математической физики АН УС^Р, одновременно с 1928 — в АН СССР.
Основные исследования относятся к теории интерполяции, аппроксимации функций и механических квадратур, приближенному интегрированию дифференциальных уравнений математической физики, вариационному исчислению, нелинейной механике. В исследованиях по теории аппроксимации и механических квадратур он впервые применил методы теории функций действительного переменного, вывел ряд формул для оценки ошибок при приближенном интегрировании дифференциальных уравнений математической физики. Исследовал вопросы, касающиеся создания новых, более общих методов математической физики, которые можно использовать как для доказательства существования решений, так и для их фактического выполнения. Совместно со своим учеником Н. Я. Боголюбовым развил метод символического решения задач математической физики на основе операционного исчисления Хевисайда. Вместе с Боголюбовым, начиная с 1927 и на протяжении 30-х гг., создал новое научное направление — нелинейную механику. Ими был выполнен цикл работ, посвященных нелинейной механике, методам приближенного интегрирования дифференциальных уравнений и теории почти периодических функций. В 1932 они начали разрабатывать методы, пригодные для исследования как периодических, так и квазипериодических процессов. В 1931—1939 Крылов совместно с Боголюбовым занимался внедрением теории нелинейных колебаний в практику. В монографии Крылова и Боголюбова «Введение в нелинейную механику» (1937) было дано систематическое изложение асимптотических методов.
Крылов и Боголюбов создали научную школу по нелинейной механике, из которой вышло много выдающихся математиков и механиков. Работы Крылова нашли широкое применение в различных областях науки и техники.
Заслуженный деятель науки УССР (1939).
