Немецкий математик, член-корреспондент Берлинской АН (с 1913). Родился в Дюссельдорфе. Окончил Боннский университет (1868). Ученик Ю. Плюккера. В 1869—1870 совершенствовал знания, принимая участие в семинаре К. Т. В. Вейерштрасса и Э. Э. Куммера в Берлинском университете. В 1870 вместе с М. С. Ли слушал в Париже лекции Ж. Г. Дарбу. С 1872 — профессор Эрлангенского университета, с 1875 — Высшей технической школы в Мюнхене, с 1880 — Лейпцигского, с 1886 — Гёттингенского университетов. С 1910 оставил преподавание. Основные работы посвящены неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, теории алгебраических уравнений, теории эллиптических функций, теории автоморфных функций. Его идеи в области геометрии, изложенные в 1872 в работе «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований», называемой Эрлангенской программой, оказывали существенное влияние на преподавание геометрии в высших и средних учебных заведениях в течение нескольких десятилетий. В Эрлангенской программе Клейн стремился раскрыть внутреннюю связь между отдельными ветвями математики (например, между геометрией и теорией групп), а также указывал на связь математики с физикой и техникой. Доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского с помощью «модели» гиперболической геометрии и тем самым нашел возможность наглядного представления этой новой геометрии. Предложил (1871) модель, реализующую систему аксиом геометрии Лобачевского (интерпретация Клейна). В мюнхенский и лейпцигский периоды своей деятельности проводил исследования по теории групп. Изучая дискретные группы, рассмотрел так называемые группы многогранников и показал, что ими можно воспользоваться для алгебраического решения некоторых типов уравнений. Одновременно работал в области теории функций Римана и топологии. В топологии известны пространство Клейна и поверхность Клейна. В «лейпцигские годы» был одним из ведущих математиков. Создал теорию автоморфных функций. В годы совместного пребывания Д. Гильберта и Клейна в Гёттингене (1895— 1925) возрос авторитет университета в области математики. Для научного творчества Клейна характерны поиски внутренних связей между различными направлениями математики, между математикой и техникой и т. п. С 1910 работал над книгой по истории математики XIX в., которая осталась незавершенной. Этой важной работе свойственна некоторая недооценка роли «ненемецких» ученых. Совместно с А. Зоммерфельдом написал труд «Теория волчка» (т. 1-4, 1910—1923).
Совместно с В. Ф. Мейером основал «Энциклопедию математических наук». Издал геометрические работы Плюккера. С 1876 был главным редактором журнала «Маthematische Annalen». Много внимания уделял вопросам математического образования. Первый председатель Международной комиссии по математическому образованию (Рим, 1908).
Член-корреспондент Петербургской АН (с 1895).
