Родился в Тифлисе (ныне Тбилиси). В 15 лет уже твердо решил заниматься математикой, отвергнув добрые пожелания своего деда Л. Г. Лопатинского, известного профессора славянской филологии, идти по его следам.
Окончил Азербайджанский университет, когда ему не было и 20 лет. В 1938 г. Харьковский университет присвоил ученую степень кандидата физико-математических наук без защиты диссертации. Доктор физико- математических наук, профессор (1947 г.). В 1951 г. избран членом-корреспондентом, а в 1965 г.— академиком АН УССР.
После окончания университета работал в различных вузах Баку, Львова и Москвы, с 1965 г. — в Донецком институте прикладной математики и механики АН УССР (руководит отделом дифференциальных уравнений в частных производных) и Донецком университете.
Основные труды относятся к дифференциальным и интегральным уравнениям, а также к алгебре. Наиболее значительны работы по теории дифференциальных уравнений в частных производных, где расмотрел краевые задачи для систем дифференциальных уравнений общего вида, эллиптических в понимании И. Г. Петровского, построил основное фундаментальное решение для; таких систем в малой области, вывел условие дополнительности, которое называют часто условием Шапиро — Лопатинского и которое американские математики назвали просто «условием Лопатинского».
С успехом изучает краевые задачи, применяя современные топологические методы. В круг научных интересов ученого входят математические проблемы физики и механики. Уместно отметить, что японские математики, пользуясь методом Лопатинского, ввели термин «детерминант Лопатинского».
Член КПСС с 1963 г., много уделяет внимания научно-организаторской и общественной работе (в частности руководит городским семинаром по теории дифференциальных уравнений, является научным консультантом кафедры дифференциальных уравнений Донецкого университета). Среди его учеников свыше 40 кандидатов и 10 докторов наук. Награжден орденами Ленина, Октябрьской Революции и медалями.