Родился в г. Севске (ныне Брянская область). В реальном училище, которое окончил, преподавание математики было поставлено плохо, поэтому ею не увлекся и поступил вначале на биологический факультет Московского университета. По сложившимся обстоятельствам пришлось временно покинуть Москву. Именно тогда будущему ученому попалась книга Дирихле по теории чисел, которая, как он говорил впоследствии, «потрясла и навсегда повернула его интересы в сторону математики». Возвратившись в Москву в 1922 г., переводится на математическое отделение университета. В 1927 г. оканчивает университет, затем аспирантуру (под руководством Д. Ф. Егорова).
Вся его жизнь и деятельность связана с Московским университетом: доцент, профессор (1933 г.), декан механико-математического факультета и, наконец, с 1951 г.— бессменный ректор. В 1946 г. избран академиком АН СССР.
Основные труды относятся к дифференциальным- уравнениям, теории вероятностей, алгебраической геометрии, топологии и другим областям математики.
Еще студентом выполняет свою первую самостоятельную научную работу по проблеме Дирихле. В теории дифференциальных уравнений заложил основы общей теории систем дифференциальных уравнений с частными производными, выделил и изучил классы эллиптических, гиперболических и параболических систем этих уравнений (теперь говорят о таких классах систем уравнений, как об уравнениях типа Петровского) и др. В теории вероятностей создал новые методы исследования в теории случайных процессов. В алгебраической геометрии выполнил блестящие разработки по топологии действительных алгебраических кривых. Известен также работами по вариационному исчислению (прямые методы), математической физике (уравнения теплопроводности), которые имеют большое теоретическое и практическое значение, оказали огромное влияние на развитие соответствующих отделов математики и находят широкое использование.
Талантливый педагог. Автор учебников «Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений», «Лекции по теории интегральных уравнений», «Лекции об уравнениях с частными производными», переведенных на многие иностранные языки. На этих книгах воспитано несколько поколений математиков как у нас, так и за рубежом. Постоянно уделял внимание делу подготовки кадров высшей квалификации. Среди его бывших учеников—многие видные ученые. Наряду с научно-педагогической занимался огромной административной, научно-организаторской и общественной деятельностью. Как ректор Московского университета привлек выдающихся ученых, организовал работу более 70 новых кафедр, ряда факультетов, 200 проблемных лабораторий. Был академиком-секретарем Отделения физико-математических наук АН СССР, а с 1953 г.— членом президиума и бюро Отделения математики АН СССР, главным редактором различных академических журналов, членом советского Комитета защиты мира, Комитета по охране исторических памятников, вице-президентом Института советско-американских отношений, членом Комитета по присуждению Ленинских и Государственных премий, депутатом Верховного Совета СССР 6—8-го созывов, членом Президиума Верховного Совета СССР.
Был избран почетным доктором Карлова, Бухарестского, Лондонского, Софийского университетов, иностранным почетным членом АН СРР. Герой Социалисти-ческого Труда, дважды лауреат Государственной премии СССР, награжден пятью орденами Ленина, тремя орденами Трудового Красного Знамени, четырьмя иностранными орденами, многими медалями.
