Родился в Москве. Окончил Московский университет '(1925 г;), причем во время учебы призывался в Крас­ную Армию. С 1934 г. работал в Математическом институте АН СССР (с 1957 г. возглавлял отдел математической ло­гики). Доктор физико-математических наук (1935 г.), профессор. В 1953 г. избран членом-корреспондентом, а в 1960 г.— академиком АН СССР.

Основные труды относятся к теории множеств, мате­матической логике и алгебре. Еще аспирантом получил полное решение одной из трудных проблем дескриптив­ной теории множеств. Чтобы найти способы решения важных задач теории множеств, начал усиленно зани­маться вопросами математической логики. Уже в своей первой работе в этой области установил класс задач, касающихся целых чисел, для которых из неэффективного решения вопросов извлекается эффективное в со­вершенно конкретной форме.

Следующие проблемы, которыми занялся ученый, были знаменитая проблема континуума и близкие к ней проблемы мощности и измеримости проективных мно-­жеств. В 1952 г. установил, что существуют группы с конечным числом образующих и конечным числом опре­деляющих отношений, для которых нет алгоритма, ре­шающего проблемы тождества слов. Эта проблема воз­никла еще в 1912 г. Она является одной из центральных проблем теории групп. Работами П. С. Новикова и его учеников открылась новая интересная область исследо­вания. Она, по существу, только частично относится к теории групп, скорее же — к области так называемой конструктивной алгебры. Результаты, устанавливающие отсутствие тех или иных алгоритмов, имеют огромное практическое значение, так как избавляют математиков от безнадежных поисков.

В алгебре (вместе со своим учеником С. И. Адяном) в 1959 г. решил важную проблему Бернсайда: будет ли всякая периодическая группа конечной или нет? Дока­зал, что существует группа с двумя образующими, пе­риодическая и бесконечная. Таким образом, ответ на вопрос Бернсайда оказался отрицательным. Занимался также исследованиями в области топологии, теории функций и математической физике.

Одновременно с научной вел педагогическую деятель­ность. Еще студентом преподавал математику в Красно­армейской школе. Работал в Московском педагогиче­ском институте им. В. И. Ленина (заведовал кафедрой математического анализа), в течение ряда лет руково­дил научными семинарами по теории функций и мате­матической логике в педагогическом институте и уни­верситете.

Создал советскую школу математической логики, по­лучившую широкое признание. Уделял большое внима­ние организации учебного процесса в университетах и педагогических институтах. Автор многих программ по различным разделам математики. Вел также большую общественную работу, был членом редколлегий ряда ма­тематических журналов. Среди его многочисленных уче­ников можно назвать А. А. Ляпунова, С. В. Яблонского, А. Д. Тайманова. Лауреат Ленинской премии, награжден двумя орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, а также значком «Отличник народного просвещения».