Советский математик, академик (с 1939), член АПН СССР (с 1968). Родился в Тамбове. Окончил Московский университет (1925). Ученик Н. И. Лузина. С 1931—профессор Московского университета.  Ранние исследования относятся к теории функций действительного переменного. Ему принадлежат работы по тригонометрическим рядам, теории меры, теории приближения функций, теории множеств, теории интеграла. В области теории вероятностей вместе с А. Я Хинчиным применил (1925) методы теории функций действительного переменного. Построил (1933) аксиоматику теории вероятностей и заложил основы теории марковских случайных процессов с непрерывным временем. Развил теорию стационарных процессов. В цикле работ 1939—1941 поставил и в ряде случаев решил вопросы экстраполяции и интерполяции таких процессов, выяснил связь между теорией случайных процессов и теорией гильбертовых пространств, сформулировал на языке функционального анализа многие задачи теории случайных процессов. Исследовал также эргодические теоремы марковских процессов. Сформулировал необходимые и достаточные условия применимости закона больших чисел.

Внес важный вклад в разработку конструктивной логики, топологии: одновременно с Дж. У. Александером ввел (1935) верхний граничный оператор и понятие когомологии — важнейшее понятие топологии и ее многочисленных приложений. Сформулировал идею топологического векторного пространства. Занимался теорией дифференциальных уравнений, функциональным анализом.                                                                                                                                                                                                                                                                    В работах по механике создал и развил концепции локальной изотропности турбулентных потоков при больших числах Рейнольдса. Получил важные результаты в качественной теории гамильтоновых систем, разработку которой продолжил В. И. Арнольд (устойчивость квазипериодичности в задаче трех тел). Колмогорову принадлежат многочисленные работы по применению математических методов в военном деле (теория стрельбы), биологии и технике, работы по применению статистических методов к задачам контроля массовой продукции, к математической лингвистике. Много работал над усовершенствованием школьных программ по математике. Автор и редактор школьных учебников.

Президент Московского математического общества (1964—1966). Иностранный член Парижской АН, член Лондонского королевского общества и ряда академий наук.

Герой Социалистического Труда (1963). Ленинская премия (1965), Государственная премия СССР (1941), премия им. Э. Бальцана (1963).