Родил­ся в г. Тамбове в семье агронома. Мать скончалась при родах, воспитывала мальчика ее сестра. Перед поступле­нием в Московский университет работал проводником на железной дороге. Увлекался русской историей, вопро­сами стихосложения и многим другим.

В формировании как математика большую роль сыграл семинар В. В. Степанова по тригонометрическим рядам, участником которого был. В 22 года оканчивает университет, в 27 — профессор, в 32 — доктор физико-математических наук, а в 36 лет — академик АН СССР. С 1929 г. работает в Московском университете, с 1933 г.— также в Математическом институте АН СССР. В 1968 г. избран академиком Академии педагогических наук СССР.

Трудно указать какую-либо значительную область математики, помимо теории чисел, в которую не внес бы существенный вклад. Научной работой стал заниматься еще студентом. Как ученик Н. Н. Лузина деятельность ученого начал в области теории функций действитель­ного переменного, где известны его работы по сходи­мости тригонометрических рядов, теории и меры, обоб­щению понятия интеграла и общей теории операций над множествами.

Вернувшись в последнее время к теории функций, в 1956 г. получил важные результаты по представимости функций нескольких переменных функциями меньшего числа переменных; в частности, доказал, что функции четырех и более переменных можно свести к функциям трех переменних. В 1957 г. его ученик В. И. Арнольд, тогда студент третьего курса Московского университета, опровергает знаменитую тринадцатую проблему Гиль­берта о том, что функцию трех переменных нельзя све­сти к функции двух переменных. Опираясь на труды своего ученика, показывает, что функцию двух перемен­ных можно свести к конечной сумме суперпозиций непре­рывных функций одного переменного.

Подобной проблемы не осмелился даже ставить Гильберт. Решение проблемы Гильберта и ее развитие впоследствии дадут, например, возможность продвинуть службу научной информации.

Внес существенный вклад в разработку так называ­емой конструктивной- логики и топологии. Работал также в области теории приближений функций и функ­ционального анализа. Важные труды ученого относятся к теории вероятностей, в которой совместно с А. Я. Хинчиным еще в 1925 г. применил методы теории функций дей­ствительного переменного, что позволило решить ряд трудных проблем и построить широко известную систе­му аксиоматического обоснования теории вероятностей ,(1933 г.). С начала 30-х годов в его работах преобла­дают аналитические методы, оказавшиеся существенны­ми, в частности, для создания теории марковских процессов с непрерывным временем.

Развил теорию стационарных случайных процессов, многие положения которой использованы в работах по автоматическому регулированию.

Ему принадлежит также исследование по теории стрельбы, статистическим методам контроля массовой продукции, теории передачи информации по каналам связи, применению математических методов в биологии и др. В качественной теории дифференциальных уравне­ний работы, выполненные совместно с учеником В. И. Арнольдом, относятся к устойчивости гамильтоновских систем, где получены новые результаты.

Яркий представитель современной кибернетики. Изве­стен также работами по применению математического анализа в исследовании поэтических произведений. В области кибернетики высказал много интересных мыслей, догадок и гипотез.

Принимает активное участие в разработке вопросов преподавания математики в средней и высшей школе; намеревается «привести логические основы современной математики в такое состояние, чтобы их можно было излагать в школе подросткам 14—15 лет. Под его редакцией написаны учебники по математике для сред­ней школы по новым программам. Занимается также вопросами истории математики, математической логикой, философией и обоснованием математики. В различных отраслях математики встречаются термины, названные именем А. Н. Колмогорова.

Опубликовал более 300 работ, среди которых много известных монографий, учебников и учебных пособий, популярных книг и статей. Ведет большую научно- организаторскую, общественную и педагогическую рабо­ту. Создал крупные школы в области теории функций и теории вероятностей. Среди его учеников — академики А. И. Мальцев, С. М. Никольский, Ю. В. Прохоров, член-корреспондент И. М. Гельфанд, академик АН УССР Б. В. Гнеденко, академик АН Узбекской ССР С. X. Сираждинов, лауреаты Ленинской премии И. В. Арнольд, Ю. А. Розанов и многие другие. Член редколлегии мно­гих математических журналов и заместитель главного редактора журнала для школьников «Квант». Бессмен­ный руководитель статистической лаборатории, член бюро Отделения математики АН СССР.

Математик с мировым именем. Член Парижской АН, Лондонского Королевского общества, Национальной АН США и ряда других академий, научных учреждений и обществ. Почетный доктор Парижского университета. Лауреат Международной премии им. Бальзена (1963 г.), значительную часть которой передал на приобретение литературы для специальной библиотеки, организован­ной с его участием. Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской премии (совместно с В. И. Арноль­дом), Государственной премии СССР и премии им. П. Л. Чебышева. Награжден семью орденами Лени­на, орденом Трудового Красного Знамени и медалями.