Математик и физик, член Национальной АН США, Американской академии искусств и наук. Родился в Эльмсхорне (близ Гамбурга). Окончил Гёттингенский университет (1908). В 1910-1913 и в 1930— 1933 работал там же, в 1913— 1930 — профессор Цюрихского технологического института, в 1933— 1955—Принстонского института перспективных исследований (США).

Исследования относятся к теории интегральных и дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, теории групп, математической логике, основаниям математики, теории относительности, квантовой механике. Его первые работы посвящены теории тригонометрических рядов, теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также теории функций комплексного переменного. В последней он заложил основы тех ее направлений, которые опираются на понятие римановой поверхности. В теории чисел известны суммы Вейля, получившие большое значение в аддитивной теории чисел. Одновременно с Э. Ж. Картоном исследовал теорию непрерывных групп, применение которым нашел в дифференциальной геометрии, физике и теории относительности. Одновременно с Я. А. Схоутеном обобщил понятие риманова пространства на случай пространства аффинной и конформной связности. Ввел понятие аффинной связности, играющей важную роль в дифференциальной геометрии и физике. Поставил (1915) проблему реализации в трехмерном евклндогом пространстве регулярной метрики положительной кривизны, заданной на сфере. С помощью методов теории групп получил некоторые результаты, относящиеся к теории атомных спектров. Разработал (1924) теорию представлений групп преобразований. Исследовал (1927) значение теории групп для развития квантовой механики.

В области философии математики Вейль примкнул к направлению интуиционизма. Ему принадлежит суждение о наступлении нового кризиса в математике. Попытка Вейля разработать единую теорию поля потерпела неудачу.