Родился в Горьком. Сын П. С. Новикова. Окончил Московский университет (1960 г.), аспирантуру Математического института АН СССР. В 1966 г. присвоена ученая степень доктора физико-математических наук, избран членом-корреспондентом АН СССР. С 1963 г. работает в Математическом институте АН СССР.
Основные труды относятся к геометрии и топологии, а также связанным с ними вопросам алгебры и теории относительности. Нашел ответ на вопрос, долго остававшийся открытым: будут ли так называемые рациональные классы Понтрягина топологическими инвариантами или нет? Доказал, что эти инварианты действительно будут топологическими. Работа стала настоящей сенсацией в математике, решала классическую проблему алгебраической топологии, от которой, в. свою очередь, зависело решение ряда сложных задач математики.
За цикл работ по дифференцируемым многообразиям, опубликованных в 1964—1966 г., удостоен Ленинской премии (1967 г.); в 1970 г. ему, первому из советских математиков, присуждена международная премия (медаль) Филдса. Эта премия учреждена канадским математиком Филдсом (1863—1932 гг.) вместо Нобелевской премии, которая математикам не присуждается. Премии (медали) Филдса могут быть удостоены математики, не достигшие 40 лет.