Родился в г. Гжатске (ныне Гагарин Смоленской области). Сред­нюю школу окончил экстерном. На 21-м году оканчи­вает Московский университет, а затем аспирантуру. Ученик П. С. Александрова. Доктор физико-матема­тических наук, профессор Московского университета (1936 г.). В 1939 г. избран членом-корреспондентом, а в 1946 г.— академиком АН СССР. Декан факультета вычислительной математики и кибернетики Московского университета (возглавляет крупнейшую кафедру вычи­слительной математики), а также заместитель дирек­тора Института прикладной математики АН СССР.

Основные математические труды относятся к тополо­гии, функциональному анализу, дифференциальным уравнениям и вычислительной математике. В 20 лет (еще студентом) доказал, что произведение (в смысле Тихонова) бикомпактных топологических пространств всегда является бикомпактным топологическим про­странством. Открыл также новый класс топологических пространств — вполне регулярные пространства. Веду­щий ученый одного из важнейших направлений совре­менной абстрактной топологии — теории бикомпактных расширений топологических пространств.

Другое его достижение, которое может быть отнесено и к топологий и к функциональному анализу,— это зна­менитая теорема о существовании неподвижной точки (1935 г.), которая стала предвестницей той теории диф­ференциальных уравнений в линейных пространствах, которая появилась позднее и продолжает развиваться многими математиками.

Это был как бы первый период деятельности А. Н. Ти­хонова. Отвлеченные понятия «тихоновское произведе­ние», «тихоновская топология», «тихоновские прост­ранства», «тихоновские бикомпактные расширения», «тихоновская теорема о неподвижных точках» стали классическими понятиями современной математики.

Во второй период своей научной деятельности зани­мался теорией уравнений математической физики и диф­ференциальными уравнениями. Теорией дифференциаль­ных уравнений в частных производных положил начало большому циклу работ в стране по изучению классов единственности решений параболических уравнений и уравнений других типов. Совместно с А. А. Самарским (его учеником) выполнил цикл работ по созданию одно­родных разностных схем решения обыкновенного диф­ференциального уравнения второго порядка с гладкими и разрывными коэффициентами. Ряд совместных работ посвящен построению общего метода относительно раз­ностных схем и их конкретизации для классов уравне­ний с различными коэффициентами. Ему, в частности, принадлежит обоснование приемов приближенного ре­шения так называемых некорректных задач, которые свел к общему принципу «регуляри-зации». Следующий важный цикл изучаемых им задач — не­устойчивые вариационные задачи (примерами их могут быть задачи оптимального управления), для которых построил регуляризирующие алгоритмы. Следует под­черкнуть, что тихоновский метод регуляризации представляет собой не просто серию изящных теорем функционального анализа, а эффективный алгоритм, чрезвычайно приспособленный для реализации на электронно-вычислительных машинах. 

Крупнейший специалист по вычислительной и прикладной математике. Под его руководством создано и теоретически исследовано большое число алгоритмов численного решения различных задач геофизики, электродинамики, физики плазмы, газовой динамики и дру­гих важнейших проблем естествознания. Создатель и руководитель большой научной школы по вычислитель­ной и прикладной математике, а также по математиче­ской физике и геофизике. Имеет много учеников, кото­рые стали известными учеными. Автор учебника «Урав­нения математической физики», написанного совместно с А. А. Самарским. Член бюро Отделения математики АН СССР и ред­коллегий ряда различных специальных журналов. Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской премии (совместно с В. К. Ивановым), дважды лауреат Госу­дарственной премии СССР. Награжден пятью орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, тремя други­ми орденами, а также медалями.