Родился в Москве в семье служащего. Вследствие несчастного слу­чая (взрыв примуса) в 14 лет потерял зрение. Мать, Татьяна Андреевна (портниха), в течение многих лет выполняла фактически обязанности личного секретаря и окружила сына самой большой заботой.

В 21 год окончил Московский университет, в 23 — аспирантуру и остался работать в университете. Ученик П. С. Александрова. В 27 лет — доктор физико-матема­тических наук и профессор, а в 30 — член-корреспондент АН СССР. Академик АН СССР (1958 г.). С 1930 г. ра­ботает также в Математическом институте АН СССР, где с 1939 г. руководит отделом дифференциальных уравнений.

Основные труды относятся к топологии, алгебре, дифференциальным уравнениям и теории оптимальных процессов. Еще студентом выполнил первую самосто­ятельную работу по топологии (1927 г.), а в 1932 г. открыл общий закон двойственности, впоследствии названный его именем. Работы ученого в области топологической алгебры и теории групп Ли продолжены как у нас, так и за рубежом.

Большой цикл исследований по применению дифференциальных уравнений к теории колебаний и теории автоматического регулирования выполнил вместе с учениками. Первые крупные результаты получил в тео­рии дифференциальных уравнений с малым параметром (совместно с Е. Ф. Мищенко).

Под руководством Л. С. Понтрягина создана новая область математики — теория оптимальных процессов. С помощыд этой теории ученые рассчитывают опти­мальные программы расхода топлива, строят наивы­годнейшие схемы электроприводов и т. п.

Получил фундаментальные результаты по дифферен­циальным играм. Известны также труды ученого по функциональному анализу. В общей сложности опубли­ковал более 150 работ, среди которых всемирно извест­ные монографии «Непрерывные групп», «Основы комби­наторной топологии», «Обыкновенные дифференциаль­ные уравнения», «Математическая теория оптимальных процессов» (совместно с В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко) и др. В обиход математиков вошли такие термины, как «закон Понтрягина», «про­странство Понтрягина», «поверхность Понтрягина», «чи­сла Понтрягина», «проблема Понтрягина» и др.

Л. С. Понтрягин так говорит о путях, которыми шел к своим крупнейшим результатам: «Основная стадия творческой работы представляет собой упорную, неред­ко требующую ряда лет работу, когда еще бывает не­ясен конечный результат, и шаг за шагом преодолева­ются трудности и препятствия. Затем в результате этой упорной «предварительной степени» бывает иногда, что мне сразу становится виден конечный результат, сверк­нет счастливая догадка. Иногда она приходит в бес­сонную ночь, когда не спишь и думаешь о чем-то не­определенном. Затем наступает последняя стадия — период внимательной, тщательной проверки» (см.: А. Наркевич. Победа математика Понтрягина.—Техника молодежи, 1950, № 3, с. 21—22).

Выдающийся педагог. Его лекции отличаются яс­ностью и точностью изложения. С 1952 г. руководит се­минаром по обыкновенным дифференциальным уравне-­ниям, которые находят применение в теории колебаний и регулирования. Имеет много учеников и последовате­лей.

Главный редактор журнала «Математический сбор­ник». Был вице-президентом Международного матема­тического союза. Член Лондонского математического общества, Международной академии «Астронавтика», почетный член АН Венгерской Народной Республики. Герой Социалистического Труда. Удостоен двух Государ­ственных премий СССР, Ленинской премии (1962, вмес­те с В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Ми­щенко), Международной премии им. Н. И. Лобачев­ского (1966 г.). Награжден двумя орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, двумя другими орде­нами, а также медалями.