Родился в Белой Церкви (ныне Киевская об­ласть) в семье учителя физики, позже профессора фи­зики, академика В. П. Линника. У будущего ученого весьма рано проявился талант математика. В 1938 г. окончил Ленинградский университет и через два года защитил докторскую диссертацию, т. е. в 25 лет — док­тор физико-математических наук. С 1940 г. работал в Ленинградском отделении Математического института АН СССР и с 1944 г.— профессор Ленинградского уни­верситета. В 1941—1942 гг. был в рядах Советской Армии. В 1953 г. избран членом-корреспондентом, а в 1964 г.— академиком АН СССР.

Основные труды относятся к теории чисел, теории вероятностей и математической статистике, т. е. к тем направлениям в математике, которые являлись тради­ционным полем деятельности Петербургской математи­ческой школы. При этом теории чисел посвятил более половины всех опубликованных работ.

Первая работа появилась в год окончания университета в «Известиях АН СССР».

В теории чисел доказал, что метод И. М. Виноградо­ва приложим к решению труднейших проблем теории чисел и теории вероятностей, привел ряд оценок триго­нометрических сумм методом Виноградова, дал элемен­тарное решение так называемой проблемы Варинга, установил, что всякое достаточно большое число есть сумма семи кубов натуральных чисел вместо восьми ра­нее известных и др. Созданный при этом метод большого решета нашел важное применение в аддитивных зада­чах теории чисел.

Разработал дисперсионный метод в аналитической теории чисел, с помощью которого решил проблему, по­ставленную английскими математиками Харди и Литлвудом, о представимости натуральных чисел суммой простого числа и двух квадратов. Дал новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова и др.

В теории вероятностей и математической статистике решил ряд трудных проблем с помощью введения новых аналитических методов.

Был президентом Ленинградского математического общества, членом бюро Отделения математики АН СССР и др. Действительный член Международного статисти­ческого института. Герой Социалистического Труда, лау­реат Ленинской премии (совместно с И. А. Ибрагимо­вым, Ю. В. Прохоровым и Ю. А. Розановым) и Государ­ственной премии СССР. Награжден орденами Ленина, «Знак Почета» и медалями.