Родился в с. Кондрове (ныне Калужская об­ласть). Окончил Московский университет (1916 г.) и <>ыл оставлен при нем для подготовки к профессорско­му званию. В 1921 г. присваивают звание профессора, а в 1935 г.— ученую степень доктора физико-математи­ческих наук без защиты диссертации.

Некоторое время работал в Ивановском политехни­ческом институте, с 1922 г.— в Московском университе­те (с 1932 г.— заведующий кафедрой математического анализа), с 1939 г.— также в Математическом инсти­туте АН СССР. В 1939 г. избран членом-корреспонден­том АН СССР, а в 1944г.—академиком  АПН РСФСР.

Основные труды относятся к теории функций, теории множеств, теории чисел и теории вероятностей. Еще сту­дентом начал работать под руководством Н. Н. Лузина. В 1915 г. ученый совет факультета присудил ему Золо­тую медаль, Первые работы относятся к теории функ­ций действительного переменного, в которых ввел по­нятие асимптотической производной, обобщил понятие интеграла Данжуа, изучил строение измеримых функ­ций и др. Перенес методы метрической теории функций в теорию чисел и теорию вероятностей.

В теории чисел получил важные результаты, глав­ным образом в теории диофантовых приближений; уста­новил ряд новых положений метрической теории непре­рывных дробей.Один из создателей советской школы теории вероят­ностей. Занимался исследованиями в области предель­ных теорем, открыл закон повторного логарифма, дал определение случайного стационарного процесса и за­ложил основы теории таких процессов. Методы и ре­зультаты теории вероятностей широко использовались им в качестве математического аппарата в статистиче­ской физике. Опубликовал около 150 работ. Ряд иссле­дований посвятил истории и философским проблемам математики, а также теории массового обслуживания и информации.

Талантливый педагог. Внес значительный вклад в де­ло улучшения математического образования как в выс­шей, так и средней школе. Принимал участие в раз­работке программ для средней школы, активно работал как член президиума и академик-секретарь отдела ме­тодики математики АПН РСФСР. Известен такими учебными пособиями и научно-популярными книгами: «Восемь лекций по математическому анализу», «Эле­менты теории чисел», «Краткий курс математического анализа», «Великая теорема Ферма», «Цепные дроби», «Три жемчужины теории чисёл» и др.

Неоднократно избирался депутатом Моссовета, где отвечал за работу Московской телефонной сети (для ее улучшения создал математическую теорию массового обслуживания, дал целый ряд практических рекоменда­ций). Лауреат Государственной премии СССР, награж­ден орденами Ленина, «Знак Почета», двумя орденам» Трудового Красного Знамени и медалями.